A question. How did you take the SQUARE of the square root of negative b in your third step? is it not supposed to be imaginary? or are you supposing that b can also be negative?

Assuming b is indeed negative... and if you pay attention to your third step where you wrote the "square root of positive b squared"... assuming that b is negative, then that square root would be impossible to solve with real numbers...

therefore, you have to treat the case with imaginary numbers straight away, no?

Studied maths 20 years ago, it looks like I've forgotten all the rules!

実数だと何入れても答えが出ないので
実数部が6同士、虚数が打ち消しあうようなのを入れる
√iが√2 /2 + √2i /2 なのでこれで打ち消しあうようにできる

左が√72iだと6+6i になり
右が√-72iだと6-6iになるからそれが答え。なお逆も可なので
b=±72i

√±iは複素数平面で1+0iから上か下に45度回した数値になる。平面上で足して長さが6になる√bと√-bそれぞれのベクトルの長さが6√2になる。そこからbが±72iってのも解る

(√b) + √(-b) = 12

√b = u , √(-b) = v とおきます。
⇒ u + v = 12 ── ①
√b , √(-b) がとり得る値は「実部が 0 以上。ただし、実部が 0 のときは虚部が 0 以上」です。
それらと等しい u , v についても同様です。

u² + v² = b + (-b)
⇒ u² + v² = 0
① から得られる v = 12 - u を代入します。
⇒ u² + (12 - u)² = 0
⇒ u² + u² - 24u + 144 = 0
⇒ u² - 12u + 72 = 0
⇒ u = 6 ± 6i
このとき、u の実部は 6 であり、v = 12 - u ですから v の実部は 6 であることがわかります。
u , v の実部が正の数なので、これらの値は条件を満たします。

√b = u = 6 ± 6i
⇒ (√b)² = (6 ± 6i)²
⇒ b = ±72i

72i does not satisfy the original equation

sqrt(b)+sqrt(-b)=12
sqrt(b)+sqrt(-1)*sqrt(b)=12
sqrt(b)*(1+sqrt(-1))=12
{sqrt(-1)=±i}
sqrt(b)*(1±i)=12
sqrt(b)=12/(1±i)
b=144/(1±2i-1)
b=144/(±2i)
b=±72i

Why not immediately let sqrt (-b) = +/- i*sqrt(b)?

❤❤❤❤❤❤

√b + √(-b) = 12
(√b + √(-b) )² = 144
(√b + j*√(b) )² = 144
b + 2*j*b - b = 144
2*j*b = 144
b = 144/(2*j) = -72*j

b = - 72 i

I have not the answer!